TEMAS
1. Matemáticas y Finanzas.
La teoría de matemáticas financieras, como una rama de las matemáticas, es relativamente joven, pudiéndose ubicar su origen en los trabajos de Black-Scholes-Merton sobre el problema de determinar el precio de una opción Europea, cuando el modelo del mercado es un movimiento Browniano exponencial con deriva.
Los temas que se estudian en el Área incluyen problemas de consumo inversión optima en mercados incompletos, para modelos de difusión y de Lévy exponenciales, medidas de riesgo dinámicas a través de su relación con ecuaciones diferenciales retrogradas, y el estudio de valuación robusta de derivados, tanto europeos como americanos, en modelos semimartingala. Actualmente se desarrollan proyectos sobre optimización robusta de portafolios para modelos de mercado del tipo Lévy exponenciales, utilizando técnicas de control estocástico y análisis convexo.
2. Teoría de Riesgo.
La teoría de riesgo clásica surgió en 1900-1930 con los trabajos fundamentales de Cramer y Lundberg y desde entonces se han investigado intensamente varios modelos más generales de procesos de riesgo y sus aplicaciones en la matemática financiera.
En el Departamento se han estudiado los procesos de riesgo de renovación, así como sus tiempos locales, y como aplicación de estos resultados se han calculado los costos de recuperación de los procesos clásicos de riesgo en varios casos importantes. Otros temas que se investigan están relacionados con procesos extremales con cambios aleatorios de tiempo, donde el propósito es obtener cotas para las probabilidades de ruina de los procesos de riesgo asociados. Se trabaja también en el cálculo de las funciones generadoras de momentos para el proceso de riesgo individual cuando hay dependencias entre las reclamaciones. Actualmente se trabaja también sobre costos de recuperación de procesos de riesgo perturbados por procesos de Lévy.
El proceso de riesgo de Cramér-Lundberg es un modelo clásico en el modelado estocástico de la ruina de una compañía de seguros, en el cual se asume que la riqueza crece de manera lineal, que las reclamaciones ocurren en tiempos exponenciales y que los montos de éstas son independientes de los tiempos de ocurrencias y de los montos de las demás reclamaciones. Por su estructura, este modelo se clasifica como un proceso de Lévy espectralmente negativo, es decir, sin saltos positivos, área en la cual investigadores del grupo de Probabilidad y Estadística del CIMAT ha hecho contribuciones significativas con trabajados sobre funciones de escala, las cuales son fundamentales en el cálculo de probabilidades de ruina y en la solución de diversos problemas que aparecen al considerar variantes del modelo de Cramér-Lundberg. Una de las variantes que ha atraído a muchos matemáticos y, en la cual investigadores del centro han hecho aportaciones importantes, es el problema de De Finetti, el cual consiste en determinar la estrategia óptima según la cual una compañía de seguros pagará dividendos a sus accionistas y el valor presente de los dividendos pagados hasta la ruina de la compañía.